Keskustelu: Yleinen keskustelu: Miten yhtälö ratkaistaan

sqrt(A) + sqrt(A - 5m) = 5m^2, A

Oletan, että A on epänegatiivinen.

Aluksi voidaan sijoittaa A=b^2, jolloin saadaan yhtälö sqrt(b^2) + sqrt(b^2 - 5m) = 5m^2. Määritellään, että b on positiivinen (yhtälöllä A=b^2 on sekä positiivinen että negatiivinen ratkaisu).

sqrt(b^2) + sqrt(b^2 - 5m) =  5m^2
        b + sqrt(b^2 - 5m) =  5m^2
            sqrt(b^2 - 5m) =  5m^2 - b            | ^2
                 b^2 - 5m  = (5m^2 - b)^2
                 b^2 - 5m  = 25m^4 - 10bm^2 + b^2
                     - 5m  = 25m^4 - 10bm^2
                   10bm^2  = 25m^4 + 5m           | /10
                     bm^2  = 2,5m^4 + 0,5m        | /m^2 (m != 0)
                        b  = 2,5m^2 + 0,5/m
                        A  = (2,5m^2 + 0,5/m)^2
                        A  = (25m^6+10m^3+1)/(4m^2)

Jos m on nolla:

bm^2  = 2,5m^4 + 0,5m
b*0   = 0 + 0
b     = 0
A     = 0

Saattaa olla väärin, laskin nopeasti.

Muokkaus: ks. alempi viesti

Paitsi että sqrt(b^2) ei ole b vaan |b|. En jaksanut tarkistaa loppuun missä menee pieleen. Ainakin jos m=0 niin fergusq:n lauseke ei ole määritelty mutta A=0 on alkuperäisen yhtälön ratkaisu.

sqrt(b^2) = b, sillä b on positiivinen. Yhtälön A=b^2 toteuttaa sekä positiivinen että negatiivinen b, joten valitsin positiivisen b:n. Ratkaisu olettaa, että m != 0. Lisäsin ratkaisuuni huomautuksen b:stä ja ratkaisun kun m=0.

Virhe binomin neliössä. On voimassa (2,5m^2 + 0,5/m)^2=(5m^3/2+1/2)^2/m^2=(5m^3+1)^2/(4m^2)=(25m^6+10m^3+1)/(4m^2).

Oikeassa taidat olla. Päivitän senkin ylempään viestiin.

fergusq:n b^2-sijoitus välttää yhden neliöinnin, mutta kyllä ratkaisu onnistuu ilmankin.

Lasketaan reaaliluvuilla, jolloin neliöjuurien vuoksi A ≥ 0 ja A ≥ 5m.

Kun m = 0, saadaan A = 0 suoraan jo alkuperäisestä yhtälöstä.

Muulloin ratkaisu etenee näin:

    sqrt(A) + sqrt(A - 5 m) = 5 m^2

# Neliöidään ja järjestellään:
(sqrt(A) + sqrt(A - 5 m))^2 = (5 m^2)^2
        2 sqrt(A^2 - 5 m A) = 25 m^4 + 5 m - 2 A

# Neliöidään ja järjestellään:
    (2 sqrt(A^2 - 5 m A))^2 = (25 m^4 + 5 m - 2 A)^2
                          0 = 625 m^8 + 250 m^5 - 100 m^4 A + 25 m^2

# m ≠ 0, joten voidaan jakaa 100 m^4:lla.
                          0 = (25 m^6 + 10 m^3 + 1) / (4 m^2) - A
                          A = (25 m^6 + 10 m^3 + 1) / (4 m^2)
                          A = ((5 m^3 + 1) / (2 m))^2
                          A = (5 m^2 + 1 / m)^2 / 4
# Huom. ehdot: A ≥ 0 ja A ≥ 5m