Putkaposti: Tuubaetydi

Uolevin harrastuksiin kuuluu tuuban soittaminen, mutta harjoittelu koettelee toisinaan naapuruston hermoja. Hioakseen soittotekniikkaansa Uolevi on päättänyt säveltää etydin, joka sisältää kaikki duuriasteikon nelisäveliset ja lyhyemmät melodiat. Kuitenkin etydi saisi olla mahdollisimman lyhyt naapurisovun säilymiseksi. Kuinka monta säveltä etydissä pitää olla vähintään?

Tehtävä

Duuriasteikossa on seitsemän säveltä: c, d, e, f, g, a ja h. Etydi muodostuu näistä sävelistä, ja kaikki sävelet soitetaan samanpituisina. Esimerkiksi etydejä ovat ch (2 säveltä), cgfecg (6 säveltä) ja cgfgegdagafaehahgh (18 säveltä). Etydi cgfecg sisältää 15 eri nelisävelistä tai lyhyempää melodiaa: c, g, f, e, cg, gf, fe, ec, cgf, gfe, fec, ecg, cgfe, gfec ja fecg.

Tehtävänä on säveltää etydi, jonka osana ovat kaikki nelisäveliset ja lyhyemmät melodiat. Helpoin ratkaisu on soittaa ensin kaikki yksisäveliset melodiat (7 kpl), sitten kaikki kaksisäveliset melodiat (49 kpl), sitten kaikki kolmisäveliset melodiat (343 kpl) ja lopuksi kaikki nelisäveliset melodiat (2401 kpl), jolloin etydiin kuuluu kaikkiaan 7 * 1 + 49 * 2 + 343 * 3 + 2401 * 4 = 10738 säveltä.

Tällainen etydi on kuitenkin tarpeettoman pitkä. Esimerkiksi kun etydi alkaa cdef, yksisävelisten melodioiden ohella tullaan soittaneeksi myös kaksisäveliset melodiat cd, de ja ef, kolmisäveliset melodiat cde ja def sekä nelisävelinen melodia cdef. Näiden melodioiden soittaminen myöhemmin uudestaan pitkittää suotta etydiä.

Vastausohje

Kirjoita vastaukseen etydi, joka sisältää kaikki duuriasteikon nelisäveliset ja lyhyemmät melodiat.

Vastaus voisi näyttää seuraavalta:

cgfgegdagafaehahgh

Tästä etydistä puuttuu kuitenkin monen monta melodiaa. Esimerkiksi melodioita hh, ede ja cdef on turha etsiä, vaikka niiden täytyisi kuulua etydiin. Uolevin kaipaama etydi on selvästi pidempi kuin 18 säveltä, mutta myös selvästi lyhyempi kuin 10738 säveltä.